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As relações de Girard são relações que favorecem a descoberta das raízes de qualquer função polinomial, independente de seu grau.

Normalmente, elas são mais difundidas como soluções para equações do segundo grau, junto com outros métodos como o de completar os quadrados e a fórmula de Bhaskara, embora este método sirva também para equações de terceiro, quarto, quinto, ... , enésimo grau.


Tomando o polinômio:

$ \;f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 $


Temos que a soma das raízes da equação, tomadas de i a i, são determinadas por:

$ S_i = (-1)^i \times \frac{a_{n-i}}{a_n} $


Tomemos como exemplo as fórmulas gerais das relações de Girard em uma equação do segundo grau f(x) = ax² + bx + c:

$ S = - \frac{b}{a} $ e $ P = \frac{c}{a} $


De acordo com as relações de Girard gerais, temos que:

$ S_1 = (-1)^1 \times \frac{a_{2-1}}{a_2} = - \frac{a_{1}}{a_2} = - \frac {b}{a} $ e $ S_2 = (-1)^2 \times \frac{a_{2-2}}{a_2} = \frac{a_{0}}{a_2} = \frac {c}{a} $


Agora vamos tomar como exemplo uma função do terceiro grau cujas raízes são 0, 1 e 2. Vamos provar que as relações de Girard são verdadeiras.

$ \;x^3 - 3x^2 + 2x = 0 $

Temos que:

$ S_1 = (-1)^1 \times \frac{a_{3-1}}{a_3} = - \frac{a_{2}}{a_3} = - \frac {-3}{1} = 3 = 0 + 1 + 2 \text { (Verdadeiro.)} $ $ S_2 = (-1)^2 \times \frac{a_{3-2}}{a_3} = \frac{a_{1}}{a_3} = \frac {2}{1} = 2 = 0*1 + 1*2 + 2*0 \text { (Verdadeiro.)} $ $ S_3 = (-1)^3 \times \frac{a_{3-3}}{a_3} = \frac{a_{0}}{a_3} = \frac {0}{1} = 0 = 0*1*2 \text { (Verdadeiro.)} $


Então essa sentença é verdadeira. Perceba que, se somente soubéssemos as somas correspondentes poderíamos saber as raízes inclusive.

Composição de polinômios usando as relações Editar

As relações de Girard também possuem outra utilidade que é a de composição de equações polinomiais. Caso seja necessário, é possível criar polinômios sendo conhecidas as suas raízes. Para tanto, basta que essa equação esteja no formato:

$ \;x^n - S_1 * x^{n-1} + S_2 * x^{n-2} + ... + (-1)^n * S_n = 0 $


Por exemplo: vamos supor que queiramos uma equação do quarto grau cujas raízes sejam 1, -2, 3 e 2. Suas somas tomadas de 1 a 1: 1 - 2 + 3 + 2 = 4

De 2 a 2: (1 * -2) + (1 * 3) + (1 * 2) + (-2 * 3) + (-2 * 2) + (3 * 2) = - 2 + 3 + 2 - 6 - 4 + 6 = - 1

De 3 a 3: (1 * -2 * 3) + (1 * -2 * 2) + (1 * 3 * 2) + (-2 * 3 * 2) = - 6 - 4 + 6 - 12 = - 16

De 4 a 4: (1 * -2 * 3 * 2) = - 12


Logo, a equação será:

$ \;x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0 $


Perceba que, por fatoramento, o processo ficaria muito mais extenso. Portanto, podemos dizer que as relações de Girard são uma ótima maneira de agilizar o modo de lidar com equações polinomiais e torná-las de mais fácil compreensão para quem as executa.